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ecuaciones cuadracticas:

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene unaecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación cuadrática

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión 

Para lo cual se suma y resta 

, que puede escribirse como

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término  puede despejarse

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si  las dos raíces son reales e iguales 

Si  las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos

Primer ejemplo, 2x² – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que  , en este ejemplo en particular 

Segundo ejemplo, 9x² – 6x + 1 = 0 

Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que 

Tercer ejemplo, x² + x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que  , para esta ecuación se obtuvo 

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación
cuadrática

Demostración

Demostración

Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1 

Un Avión realiza un vuelo de 1200 millas. Si aumenta su velocidad en 80 millas por hora el recorrido puede hacerse en media hora menos. Cuál es su velocidad de vuelo?
Sea V la velocidad a encontrar
Asumiendo una velocidad constante el tiempo para volar las 1200 millas es  recuerde que tiempo

es igual a espacio/velocidad

Si recorre la misma distancia pero 80 millas por hora más el tiempo será 

Si restamos los tiempos tenemos que la diferencia es media hora 

Operemos

Lo cual es lógico ya que el Avión avanza hacia su destino (la velocidad no puede ser negativa ni 0)

La velocidad del Avión es 400 millas por hora (No se toma en cuenta la respuesta negativa ya que carece de sentido como solución)

Ejemplo 2

Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14 metros. Cuáles son las dimensiones del terreno?

Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno.

Tenemos que el área es el producto del largo por el ancho por tanto se tiene

El perímetro es la suma de los lados del rectángulo luego

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Despejamos x de (2) para reemplazarlo en (1)

Luego

Se multiplica por -1 a ambos lados de la ecuación

Si reemplazamos en x ambas soluciones tenemos que x puede ser 7 – 4 que es 3 o también 7 – 3 que es 4 por tanto no importa el orden las dimensiones siempre serán 3 y 4 metros (esto sucede porque el ancho y largo son nombres subjetivos y dependen de cómo se vea el rectángulo)